一元配置分散分析（ANOVA）を自力でやってみる - 統計を学ぶ化学系技術者の記録

複数の群の平均値が等しいかどうかを調べる一元配置分散分析（ANOVA）。

エクセルでも行うことが出来る。

f:id:Chemstat:20210314093428j:plain

共分散分析に比べれば別に難しいことはないのだけれど、備忘録がてらまとめておく。

データの準備

A,B,Cの群からなる下記のデータを用意した。

データ

群A	3	4	5	4
群B	5	5	4	6	7
群C	3	2	6

分布はこんな感じ。

f:id:Chemstat:20210314094012j:plain

このそれぞれの群の平均値が等しいか（統計的有意差があるか）を調べていく。

各群の統計量

まずは表の上部の各群のデータ。

f:id:Chemstat:20210314094922p:plain

ほとんどそのままなのだが、分散分散は不偏分散なのでn-1で割ることになる。

合計

$\begin{align*} T_A= \sum_{i=1}^n{x_{Ai}}= 3+4+5+4=16\end{align*}$

$T_B=5+5+4+6+7=27$

$T_B=3+2+6=11$

平均

$\begin{align*} \bar{x}_A = \frac{T_A}{n_A} = \frac{16} {4} =4\end{align*}$

$\begin{align*} \bar{x}_B = \frac{27} {5} =5.4\end{align*}$

$\begin{align*} \bar{x}_C = \frac{11} {3} =3.666...\end{align*}$

分散（不偏分散）

$\begin{align*} s_A^2 = \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n{(x_{Ai}-\bar{x}_A)^2}}{n_A-1} \scriptsize= \frac{(3-4)^2+(4-4)^2+(5-4)^2+(4-4)^2} {(4-1)} \normalsize=0.666... \end{align*}$

$\begin{align*} s_B^2 = \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n{(x_{Bi}-\bar{x}_B)^2}}{n_B-1} \scriptsize= \frac{(5-5.4)^2+(5-5.4)^2+(4-5.4)^2+(6-5.4)^2+(7-5.4)^2} {(5-1)} \normalsize=5.2 \end{align*}$

$\begin{align*} s_C^2 = \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n{(x_{Ci}-\bar{x}_C)^2}}{n_C-1} \scriptsize= \frac{(3-3.66...)^2+(2-3.66...)^2+(6-3.66...)^2} {(3-1)} \normalsize=4.33... \end{align*}$

分散分析

つづいて分散分析。

f:id:Chemstat:20210315075101p:plain
比較する変動を図に入れるとこんな感じ。

f:id:Chemstat:20210316060707j:plain

グループ内変動に対してグループ間変動を比較し、グループ間の差が統計的に有意かを判定する。ちなみに実際は上図の二乗和を変動としているのでご注意ください。

変動（グループ間）

総平均 $\begin{align*} \bar{x}_{total} = \frac{T_A+T_B+T_C} {n_A+n_B+n_C} \scriptsize=\frac{16+27+11}{3+4+5}\normalsize=4.5\end{align*}$

Aのグループ間変動： $\begin{align*} S_{1A}=(\bar{x}_A-\bar{x}_{total})^2{\times}n_A\scriptsize=(4-4.5)^2\times4\normalsize=1\end{align*}$

Bのグループ間変動： $\begin{align*} S_{1B}=(\bar{x}_B-\bar{x}_{total})^2{\times}n_B\scriptsize=(5.4-4.5)^2\times5\normalsize=4.05\end{align*}$

Cのグループ間変動： $\begin{align*} S_{1C}=(\bar{x}_C-\bar{x}_{total})^2{\times}n_C\scriptsize=(3.666...-4.5)^2\times3\normalsize=2.083...\end{align*}$

総グループ間変動： $S_{1total}=S_{1A}+S_{1B}+S_{1C} = 1+4.05+2.083...=7.133...$

変動（グループ内）

Aのグループ内変動： $\begin{align*} S_{2A}=\sum_{i=1}^n(x_{Ai}-\bar{x}_A)^2\scriptsize=(3-4)^2+(4-4)^2+(5-4)^2+(4-4)^2\normalsize=2\end{align*}$

Bのグループ内変動： $\begin{align*} S_{2B}=\sum_{i=1}^n(x_{Bi}-\bar{x}_C)^2\scriptsize=(5-5.4)^2+(5-5.4)^2+(4-5.4)^2+(6-5.4)^2+(7-5.4)^2\normalsize=5.2\end{align*}$

Cのグループ内変動： $\begin{align*} S_{2C}=\sum_{i=1}^n(x_{Ci}-\bar{x}_C)^2\scriptsize=(3-3.666...)^2+(2-3.666...)^2+(6-3.666...)^2\normalsize=8.666...\end{align*}$